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《概率论与数理统计》期末试卷A (精选08)
一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）
- 袋中有 9 个球, 其中 3 个是红球, 每次取 1 个球, 取出后不放回, 则第 3 次才取到红球的概率为 ______
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答案： $\frac{5}{28}$
解析： 本题考查古典概型与不放回抽样的概率计算。
第一步：分析试验过程 “第 3 次才取到红球”意味着：
- 第 1 次取到白球（非红球）；
- 第 2 次取到白球；
- 第 3 次取到红球。
第二步：计算概率 袋中共有 9 个球，3 红 6 白。
- 第 1 次取到白球的概率为：$P(A_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
- 第 2 次取到白球的概率（此时剩 8 个球，5 白 3 红）：$P(A_2|A_1) = \frac{5}{8}$
- 第 3 次取到红球的概率（此时剩 7 个球，4 白 3 红）：$P(A_3|A_1 A_2) = \frac{3}{7}$
根据乘法公式，所求概率为：
难度: ⭐ 考点: #不放回抽样 #乘法公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 乘法公式：$P(AB) = P(A)P(B|A)$
思路分析
不放回抽样时，每次抽取后球的总数和目标颜色的球数都会减少，注意积分更新剩余数量。
🔄 举一反三
- 若是有放回抽样，第 3 次才取到红球的概率是多少？
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答案：$\frac{4}{27}$解析： 每次抽取独立，概率不变。 $P = \frac{6}{9} \times \frac{6}{9} \times \frac{3}{9} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$。
- 设随机事件 $A, B$ 互不相容，且 $P(A) = 0.7, P(B) = 0.2$，则 $P(A - B) =$ ______
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答案： $0.7$
解析： 本题考查事件的互不相容性及其概率减法公式。
第一步：回顾减法公式 对于任意两个事件 $A$ 和 $B$，有：
第二步：利用互不相容性 已知事件 $A, B$ 互不相容，即 $AB = \emptyset$，故 $P(AB) = 0$。
第三步：计算结果
难度: ⭐ 考点: #互不相容 #减法公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 互不相容：$P(AB) = 0$
- 独立：$P(AB) = P(A)P(B)$（切忌混淆！）
易错点
容易将“互不相容”与“相互独立”混淆。若独立，则 $P(AB) = 0.7 \times 0.2 = 0.14$。
🔄 举一反三
- 设 $A, B$ 互不相容，且 $P(A) = 0.7, P(B) = 0.2$，求 $P(A \cup B)$。
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答案：$0.9$解析： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.7 + 0.2 - 0 = 0.9$。
- 设随机变量 $X \sim B(4, p)$，且 $P\{X \geq 1\} = \frac{80}{81}$，则参数 $p =$ ______
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答案： $\frac{2}{3}$
解析： 本题考查二项分布的概率计算。
第一步：利用对立事件 事件 $\{X \geq 1\}$ 的对立事件为 $\{X = 0\}$。 因此：
第二步：代入二项分布公式 已知 $X \sim B(4, p)$，则：
所以：
第三步：解出 $p$
难度: ⭐ 考点: #二项分布 #对立事件
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 二项分布公式：$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
思路分析
遇到“至少一个”问题，通常转化为“1 - 都不发生”来简化计算。
🔄 举一反三
- 设 $X \sim B(2, 0.5)$，求 $P\{X \geq 1\}$。
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答案：$0.75$解析： $P\{X \geq 1\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - C_2^0 (0.5)^0 (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$。
- 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，则条件概率 $P\{X > 5 \mid X > 3\} =$ ______
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答案： $e^{-2}$
解析： 本题考查指数分布的无记忆性。
第一步：回顾指数分布的无记忆性 若随机变量 $X$ 服从指数分布，则对于任意的 $s, t > 0$，均有：
第二步：应用无记忆性 本题中，要求 $P\{X > 5 \mid X > 3\}$。 令 $s = 3$，$t = 2$，则 $s + t = 5$。 根据无记忆性：
第三步：计算概率 已知 $X \sim Exp(1)$，其分布函数为 $F(x) = 1 - e^{-x} \ (x \geq 0)$。 因此：
难度: ⭐⭐ 考点: #指数分布 #无记忆性
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📖 相关公式与知识点:
- 指数分布生存函数：$P(X > t) = e^{-\lambda t}$
思路分析
利用无记忆性可以免去繁琐的条件概率公式计算（即不需要算 $\frac{P(X>5)}{P(X>3)}$）。
🔄 举一反三
- 设 $X \sim Exp(3)$，求 $P\{X > 2 \mid X > 1\}$。
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答案：$e^{-3}$解析： 由无记忆性得 $P\{X > 2 \mid X > 1\} = P\{X > 1\} = e^{-3 \times 1} = e^{-3}$。
- 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $N(1, \sigma^2)$，则 $P\{\min(X, Y) > 1\} =$ ______
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答案： $\frac{1}{4}$ （或 $0.25$）
解析： 本题考查正态分布的对称性与独立随机变量的性质。
第一步：转化事件 事件 $\{\min(X, Y) > 1\}$ 等价于 $\{X > 1\}$ 且 $\{Y > 1\}$ 同时发生。 即：
第二步：利用独立性 因为 $X$ 和 $Y$ 相互独立：
第三步：利用对称性计算概率 由于 $X \sim N(1, \sigma^2)$，$Y \sim N(1, \sigma^2)$，均值均为 $1$。 根据正态分布关于均值对称的性质，大于均值的概率为 $0.5$：
所以：
难度: ⭐ 考点: #正态分布对称性 #独立性 #最小值函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$：$P(X > \mu) = 0.5$
思路分析
关键在于将 $\min(X, Y) > 1$ 转化为 $X > 1$ 且 $Y > 1$。
🔄 举一反三
- $X,Y \sim N(0,1)$ 独立，求 $P(\min(X,Y) > 0)$。
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答案：$0.25$
- 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$，则数学期望 $E(X^2) =$ ______
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答案： $\frac{1}{2}$
解析： 本题考查连续型随机变量函数期望的求解。
第一步：回顾期望公式 根据连续型随机变量函数的期望公式：
第二步：代入数据积分 这里 $g(X) = X^2$，积分区间为 $(0, 1)$：
第三步：计算积分
难度: ⭐ 考点: #期望 #连续型函数期望
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📖 相关公式与知识点:
- 连续型期望公式：$E(X) = \int xf(x)dx$
易错点
不要混淆 $E(X^2)$ 与 $[E(X)]^2$。
🔄 举一反三
- $f(x) = 3x^2 \ (0<x<1)$，求 $E(X)$。
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答案：$3/4$
- 已知 $E(X) = 1$，$E(Y) = 2$，$Cov(X, Y) = 3$，则期望 $E(XY) =$ ______
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答案： $5$
解析： 本题考查协方差与期望的关系。
第一步：回顾协方差公式 协方差的计算公式为：
第二步：变形求 $E(XY)$
第三步：代入数据
难度: ⭐ 考点: #协方差 #期望性质
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📖 相关公式与知识点:
- 协方差定义式：$Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$ :::
🔄 举一反三
- $E(X)=2, E(Y)=3, Cov(X,Y)=1$，求 $E(XY)$。
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答案：$7$
- 设随机变量 $X$ 的方差 $D(X) = 16$，则根据切比雪夫不等式，概率 $P\{|X - E(X)| \geq 8\}$ 的上限为 ______
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答案： $\frac{1}{4}$ （或 $0.25$）
解析： 本题考查切比雪夫不等式的应用。
第一步：回顾切比雪夫不等式 对于任意随机变量 $X$，若其方差存在，则对任意 $\epsilon > 0$，有：
第二步：代入数据 已知 $D(X) = 16$，$\epsilon = 8$。
第三步：计算结果
难度: ⭐ 考点: #切比雪夫不等式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 切比雪夫不等式互补形式：$P\{|X - E(X)| < \epsilon\} \geq 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}$ :::
🔄 举一反三
- $D(X)=4$，估计 $P(|X-E(X)| \geq 4)$ 的上限。
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答案：$1/4$
- 设总体 $X \sim P(\lambda)$，其中参数 $\lambda > 0$ 未知。$X_1, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，$\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，则期望之和 $E(\bar{X}) + E(S^2) =$ ______
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答案： $2\lambda$
解析： 本题考查样本统计量的期望性质。
第一步：分析样本均值 $\bar{X}$ 的期望 因为样本 $X_i$ 与总体 $X$ 同分布，所以：
已知 $X \sim P(\lambda)$，泊松分布的理论期望为 $E(X) = \lambda$。 故 $E(\bar{X}) = \lambda$。
第二步：分析样本方差 $S^2$ 的期望 根据样本方差的性质，样本方差 $S^2$ 是总体方差 $D(X)$ 的无偏估计。 即：
已知泊松分布的方差 $D(X) = \lambda$。 故 $E(S^2) = \lambda$。
第三步：求和
难度: ⭐⭐ 考点: #样本均值 #样本方差无偏性 #泊松分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 记住结论：$E(\bar{X}) = \mu$，$E(S^2) = \sigma^2$。 :::
🔄 举一反三
- $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，求 $E(\bar{X}) + E(S^2)$。
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答案：$\mu + \sigma^2$
- 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\sigma^2$ 未知。现抽取样本测得均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为 $(a, 10)$。已知样本均值为 $\bar{X} = 9.5$，则置信下限 $a =$ ______
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答案： $9.0$
解析： 本题考查正态总体均值置信区间的对称性。
第一步：分析均值置信区间的形式 在总体方差 $\sigma^2$ 未知的情况下，均值 $\mu$ 的置信区间（$t$ 检验）形式为：
第二步：利用区间关于 $\bar{X}$ 对称的性质 可见，置信区间的中心点正是样本均值 $\bar{X}$。 即：
第三步：代入数据求解 已知 $\bar{X} = 9.5$，置信上限为 $10$：
难度: ⭐⭐ 考点: #置信区间对称性 #正态总体均值区间
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 置信区间宽度：$2 \Delta = 2 \times t_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}$ :::
🔄 举一反三
- $\bar{x}=5$，置信区间 $(4, 6)$，求置信上限。
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答案：$6$（区间关于 $\bar{x}$ 对称）
二、单选题（每小题 3 分，共 15 分）
- 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则下列随机变量组中必定相互独立的是（ ）
- A. $X$ 与 $X+Y$
- B. $Y$ 与 $X+Y$
- C. $2X$ 与 $3Y$
- D. $X+Y$ 与 $X-Y$
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答案： C
解析： 本题考查随机变量独立性的性质。
第一步：理解独立性的定义 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $X$ 的任意连续函数 $g(X)$ 与 $Y$ 的任意连续函数 $h(Y)$ 也必定相互独立。
第二步：分析各选项
- A 选项：$X$ 与 $X+Y$。显然，第二个变量中包含 $X$，它们之间存在相关性，一般不独立。
- B 选项：同理，$Y$ 与 $X+Y$ 一般不独立。
- C 选项：$2X$ 是 $X$ 的函数，$3Y$ 是 $Y$ 的函数。根据“独立随机变量的函数仍独立”的性质，$2X$ 与 $3Y$ 必定相互独立。
- D 选项：$X+Y$ 与 $X-Y$。只有当 $X, Y$ 服从方差相同的正态分布时才独立，不具有普适性。
故选 C。
难度: ⭐ 考点: #独立性性质 #随机变量函数的独立性
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 若 $X \perp Y$，则 $g(X) \perp h(Y)$。
🔄 举一反三
- 设 $X \perp Y$，判断 $X^2$ 与 $e^Y$ 是否独立。
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答案：独立。 解析：它们分别是 $X$ 和 $Y$ 的函数，保持独立性。
- 下列函数中，可以作为某个离散型随机变量的分布函数的是（ ）
- A. $F(x) = 1 + x$
- B. $F(x) = \sin x$
- C. $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 0 \\ 0.5, & 0 \leq x < 1 \\ 0.8, & x \geq 1 \end{array} \right.$
- D. $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & x < 0 \\ 0.4, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{array} \right.$
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答案： D
解析： 本题考查分布函数的性质（跃迁函数的规范性）。
第一步：回顾分布函数的三个核心性质
- 单调不减性：$x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1) \leq F(x_2)$。
- 规范性：$F(-\infty) = 0$ 且 $F(+\infty) = 1$。
- 右连续性：$F(x^+) = F(x)$。
第二步：检验各选项
- A 选项：$F(+\infty) = +\infty \neq 1$，不满足规范性。
- B 选项：$\sin x$ 在实数集上不是单调不减的，不满足单调性。
- C 选项：$F(+\infty) = 0.8 \neq 1$，不满足规范性。
- D 选项：单调不减，右连续，且 $F(-\infty)=0, F(+\infty)=1$，完全符合离散型随机变量分布函数（跃迁函数）的要求。
故选 D。
难度: ⭐⭐ 考点: #分布函数性质 #跃迁函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 分布函数三性质：单调不减、$F(-\infty)=0, F(+\infty)=1$、右连续。
思路分析
逐一检验三个性质，排除不满足的选项。
🔄 举一反三
- $F(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ 是分布函数吗？
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答案：是（Logistic 分布函数）。
- 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} ax^2 + bx, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$，且已知其数学期望 $E(X) = \frac{1}{2}$。则由概率密度的规范性与期望公式可得，参数 $a$ 和 $b$ 满足的关系式为（ ）
- A. $2a + 3b = 6$
- B. $3a + 4b = 1$
- C. $3a + 4b = 6$
- D. $2a + 3b = 1$
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答案： C
解析： 本题考查概率密度的规范性条件与期望的计算。
第一步：利用规范性条件 概率密度在全区间上的积分必须为 1：
第二步：利用期望公式 已知 $E(X) = \frac{1}{2}$：
方程两边同乘以 12：
故选 C。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #规范性 #期望公式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 规范性：$\int f(x)dx = 1$
- 期望：$E(X) = \int x f(x)dx$
思路分析
分别列出规范性和期望两个方程，联立求解。
🔄 举一反三
- $f(x) = ax+b \ (0<x<1)$，$E(X)=0.6$，求 $a,b$。
查看练习答案与解析
答案：$a=1.2, b=0.4$
- 设 $X_1, X_2$ 相互独立，且均服从标准正态分布 $N(0, 1)$，则统计量 $T = \frac{X_1 - X_2}{X_1 + X_2}$ 服从的分布为（ ）
- A. $N(0, 1)$
- B. $t(2)$
- C. $t(1)$
- D. $F(1, 1)$
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答案： C
解析： 本题考查正态变量线性组合的性质与 $t$ 分布（柯西分布）的识别。
第一步：分析分子与分母的分布 因为 $X_1, X_2 \sim N(0, 1)$ 独立：
- 分子：$X_1 - X_2 \sim N(0, 2)$
- 分母：$X_1 + X_2 \sim N(0, 2)$
第二步：分析分子与分母的独立性 计算协方差：
由于正态随机变量不相关等价于独立，所以分子与分母相互独立。
第三步：识别分布 两个独立同分布的 $N(0, \sigma^2)$ 随机变量之比，服从柯西分布。 而标准 Cauchy 分布等价于自由度为 1 的 $t$ 分布，即 $t(1)$。
故选 C。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #抽样分布 #t分布 #柯西分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 独立正态变量之比服从柯西分布，即 $t(1)$。
- 正态变量不相关 $\iff$ 独立。
思路分析
先验证分子分母的独立性和正态性，再识别分布类型。
🔄 举一反三
- $X_1,X_2 \sim N(0,1)$ 独立，$\frac{X_1}{|X_2|}$ 服从什么分布？
查看练习答案与解析
答案：$t(1)$（柯西分布）。
- 在假设检验中，如果在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下接受了原假设 $H_0$，那么在显著性水平 $\alpha = 0.01$ 下，下列结论正确的是（ ）
- A. 必接受 $H_0$
- B. 必拒绝 $H_0$
- C. 可能接受也可能拒绝 $H_0$
- D. 无法确定
查看答案与解析
答案： A
解析： 本题考查假设检验中显著性水平与拒绝域的关系。
第一步：理解显著性水平的含义 显著性水平 $\alpha$ 代表犯第一类错误（弃真）的概率。显著性水平越小，拒绝域越小，接受域越大。
第二步：分析拒绝域的包含关系 设显著性水平为 $\alpha$ 时的拒绝域为 $W_\alpha$。 当 $\alpha$ 从 $0.05$ 减小到 $0.01$ 时，拒绝域会缩小，即：
第三步：做出判断 在 $\alpha = 0.05$ 下接受了 $H_0$，说明样本观测值落在接受域内（即不在 $W_{0.05}$ 中）。 既然观测值不在 $W_{0.05}$ 中，由包含关系，它也必然不在更小的拒绝域 $W_{0.01}$ 中。 因此，在 $\alpha = 0.01$ 下必定依然落在接受域内，即必接受 $H_0$。
故选 A。
难度: ⭐⭐ 考点: #假设检验 #拒绝域 #显著性水平
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\alpha$ 越小，拒绝域越小，接受域越大。
- $W_{\alpha_1} \subset W_{\alpha_2}$（当 $\alpha_1 < \alpha_2$）。
思路分析
在较大 $\alpha$ 下接受 $H_0$，则在更小的 $\alpha$ 下必然也接受。
🔄 举一反三
- 在 $\alpha=0.01$ 下拒绝 $H_0$，在 $\alpha=0.05$ 下结论如何？
查看练习答案与解析
答案：必拒绝 $H_0$（拒绝域更大）。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 55 分）
- （10分）设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \cos x, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$ （1）求概率 $P\left(\frac{\pi}{6} \leq X \leq \frac{\pi}{4}\right)$； （2）设 $Y = \cos X$，求 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$。
查看答案与解析
答案： (1) $P\left(\frac{\pi}{6} \leq X \leq \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$ (2) $f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$
解析：第一步：求解第（1）问 根据连续型随机变量概率与密度的关系：
第二步：求解第（2）问（公式法/单调变换法） 设 $y = g(x) = \cos x$。在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上，$g(x)$ 严格单调递减。 其反函数为 $x = h(y) = \arccos y$。 当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时，$0 < y < 1$。 反函数的导数为：
根据公式 $f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$：
当 $y$ 在其他范围时，$f_Y(y) = 0$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #连续型概率积分 #随机变量函数分布 #公式法
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 公式法：$f_Y(y) = f_X(h(y))|h'(y)|$ :::
🔄 举一反三
- $f(x) = 2x \ (0<x<1), Y = X^2$，求 $f_Y(y)$。
查看练习答案与解析
答案：$f_Y(y) = 1 \ (0<y<1)$
- （10分）设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $G = \{(x,y) \mid 0 < x < 1, 0 < y < 2x\}$ 内服从均匀分布。 （1）求边缘密度 $f_X(x)$； （2）求条件密度 $f_{Y|X}(y|x)$； （3）求概率 $P(X+Y \leq 1)$。
查看答案与解析
答案： (1) $f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$ (2) $f_{Y|X}(y|x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2x}, & 0 < y < 2x \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$ （对于 $0 < x < 1$） (3) $P(X+Y \leq 1) = \frac{1}{3}$
解析：第一步：求区域 $G$ 的面积 $A$ 与联合密度
由于是均匀分布，联合密度为面积的倒数：
第二步：求边缘密度 $f_X(x)$ 对于 $0 < x < 1$：
当 $x$ 取其他值时，$f_X(x) = 0$。
第三步：求条件密度 $f_{Y|X}(y|x)$ 对于 $0 < x < 1$：
第四步：计算概率 $P(X+Y \leq 1)$ 画图可知，积分区域为 $G$ 与半平面 $x+y \leq 1$ 的交集。 求解交点：由 $y=2x$ 与 $x+y=1$ 得 $x=1/3, y=2/3$。
简化为面积计算更简单： 该区域是一个三角形，顶点为 $(0,0)$，$(1/3, 2/3)$，$(1, 0)$。 以 $x$ 轴上的线段 $(0,0)$ 到 $(1,0)$ 为底，底边长为 1。高为交点的纵坐标 $2/3$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #二维均匀分布 #边缘密度 #条件密度 #几何概率
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 均匀分布：$f(x,y) = 1/S_D$
- 条件密度：$f_{Y|X}(y|x) = f(x,y)/f_X(x)$
思路分析
先求区域面积 → 联合密度 → 边缘密度 → 条件密度 → 几何概率。
🔄 举一反三
- $(X,Y)$ 在 $0<x<1, 0<y<x$ 上均匀，求 $f_X(x)$。
查看练习答案与解析
答案：$f_X(x) = 2x \ (0<x<1)$
- （10分）设离散型随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且它们的分布律相同，均为：
$X$ (或 $Y$) 0 1 $P$ $1/3$ $2/3$ 令 $Z = X + Y$。 （1）求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律； （2）判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立（题干已给，此处要求通过定义证明）； （3）求 $Z$ 的分布律。
查看答案与解析
答案： (1) 联合分布律表：
| $X \setminus Y$ | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | $1/9$ | $2/9$ |
| 1 | $2/9$ | $4/9$ |
(2) 独立。
(3) $Z$ 的分布律：
| $Z$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $P$ | $1/9$ | $4/9$ | $4/9$ |
解析：第一步：求联合分布律 利用独立性 $P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j)$ 计算填表。
第二步：求 $Z=X+Y$ 的分布律$Z$ 的可能取值为：0, 1, 2。
- $P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = 1/9$
- $P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) = 2/9 + 2/9 = 4/9$
- $P(Z=2) = P(X=1, Y=1) = 4/9$
难度: ⭐⭐ 考点: #联合分布律 #独立性 #随机变量和的分布
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📖 相关公式与知识点:
- 独立时：$P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j)$
- 卷积：$P(Z=k) = \sum_i P(X=i, Y=k-i)$
思路分析
利用独立性填联合分布表，再按 $Z=X+Y$ 的取值合并概率。
🔄 举一反三
- $X,Y$ 独立同分布于 $B(1, 0.5)$，求 $Z=X+Y$ 的分布。
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答案：$P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.5, P(Z=2)=0.25$
- （10分）设随机变量 $X_1, X_2$ 独立同分布于区间 $[0, 1]$ 上的均匀分布。令 $Z = X_1 + X_2$。 求 $Z$ 的分布函数 $F_Z(z)$。
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答案：
解析：$X_1, X_2 \sim U[0, 1]$，联合密度为 $f(x_1, x_2) = 1 \ (0 \leq x_1, x_2 \leq 1)$。 $F_Z(z) = P(X_1 + X_2 \leq z) = \iint_{x_1+x_2 \leq z} 1 dx_1 dx_2$。 通过画图计算面积：
- 当 $z < 0$ 时，$F_Z(z) = 0$；
- 当 $0 \leq z < 1$ 时，积分区域为等腰直角三角形，面积为 $\frac{z^2}{2}$；
- 当 $1 \leq z < 2$ 时，用正方形面积减去右上角空白三角形面积：$1 - \frac{(2-z)^2}{2} = 2z - \frac{z^2}{2} - 1$；
- 当 $z \geq 2$ 时，$F_Z(z) = 1$。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #均匀分布和的分布 #分布函数法
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📖 相关公式与知识点:
- 分布函数法：$F_Z(z) = P(X+Y \leq z) = \iint_{x+y \leq z} f(x,y)dxdy$
思路分析
画图分区间讨论，用面积法计算概率。
🔄 举一反三
- $X,Y \sim U[0,1]$ 独立，求 $P(X+Y \leq 0.5)$。
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答案：$0.125$
- （10分）设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{3x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$，其中 $\theta > 0$ 为未知参数。$X_1, \dots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本。 求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_M$ 和极大似然估计量 $\hat{\theta}_L$。
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答案：
- 矩估计量：$\hat{\theta}_M = \frac{4}{3}\bar{X}$
- 极大似然估计量：$\hat{\theta}_L = X_{(n)} = \max(X_1, \dots, X_n)$
解析：第一步：求矩估计量
- 计算总体期望：$$E(X) = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{3x^2}{\theta^3} dx = \frac{3}{\theta^3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^\theta = \frac{3}{4}\theta$$
- 令 $E(X) = \bar{X}$：$$\frac{3}{4}\theta = \bar{X} \Rightarrow \hat{\theta}_M = \frac{4}{3}\bar{X}$$
第二步：求极大似然估计量
- 写出似然函数（注意参数范围对样本的限制）：$$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{3^n}{\theta^{3n}} \prod_{i=1}^n X_i^2, & 0 < X_i < \theta \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$$要使 $L(\theta) > 0$，必须满足 $\theta \geq X_i$ 对所有 $i$ 成立，即 $\theta \geq \max(X_i) = X_{(n)}$。
- 在 $\theta \geq X_{(n)}$ 范围内，似然函数 $L(\theta) = \frac{C}{\theta^{3n}}$ 是关于 $\theta$ 的单调递减函数。
- 因此，要使 $L(\theta)$ 最大，$\theta$ 应取其允许的最小值：$$\hat{\theta}_L = X_{(n)}$$
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #矩估计 #极大似然估计 #均匀类型边界参数
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📖 相关公式与知识点:
- 矩估计：令 $E(X) = \bar{X}$
- MLE 边界型：似然函数单调时，取参数允许的最小/最大值
思路分析
矩估计用期望公式；MLE 注意 $\theta$ 的范围约束，似然函数单调递减。
🔄 举一反三
- $f(x) = 2x/\theta^2 \ (0<x<\theta)$，求 $\theta$ 的 MLE。
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答案：$\hat{\theta} = X_{(n)}$
- （5分）某工厂生产的产品的合格率为 $0.8$。现引入一种检测设备，已知合格品被判为合格的概率为 $0.9$，不合格品被判为不合格的概率为 $0.95$。若一件产品经检测被判定为合格，求该产品实际上确实是合格品的概率。
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答案： $\frac{72}{73}$
解析： 本题考查贝叶斯公式的应用。
第一步：设事件
- 事件 $A$：产品确实合格，则 $P(A) = 0.8$，$\bar{A}$ 代表不合格，$P(\bar{A}) = 0.2$。
- 事件 $B$：检测设备判定产品合格。
第二步：列出条件概率
- $P(B|A) = 0.9$（合格品判为合格）
- $P(\bar{B}|\bar{A}) = 0.95 \Rightarrow P(B|\bar{A}) = 1 - 0.95 = 0.05$（不合格品误判为合格）
第三步：应用全概率公式求 $P(B)$
第四步：应用贝叶斯公式求 $P(A|B)$
难度: ⭐⭐ 考点: #全概率公式 #贝叶斯公式
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📖 相关公式与知识点:
- 全概率：$P(B) = \sum P(A_i)P(B|A_i)$
- 贝叶斯：$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$
思路分析
先设事件 → 列条件概率 → 全概率求 $P(B)$ → 贝叶斯求后验概率。
🔄 举一反三
- 患病率 1%，检出率 95%，误报率 2%，求检出阳性者真患病的概率。
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答案：约 $32.4\%$
四、证明题（共 5 分）
- 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 均为指示变量（即只能取 0 或 1 的随机变量）。证明：$X$ 和 $Y$ 相互独立的充分必要条件是 $X$ 和 $Y$ 不相关。
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证明：必要性（独立 $\Rightarrow$ 不相关）： 若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则对于任意随机变量均有 $E(XY) = E(X)E(Y)$。 因此，协方差为：
故 $X$ 和 $Y$ 不相关。
充分性（不相关 $\Rightarrow$ 独立）： 已知 $X, Y$ 为指示变量，其可能取值只有 0 和 1。 设 $P(X=1) = p_1$，$P(Y=1) = p_2$。 则：
- $E(X) = 1 \cdot p_1 + 0 \cdot (1-p_1) = p_1$
- $E(Y) = 1 \cdot p_2 + 0 \cdot (1-p_2) = p_2$
- $XY$ 的取值也只能是 0 或 1，且只有当 $X=1$ 且 $Y=1$ 时，$XY=1$。 故 $E(XY) = 1 \cdot P(X=1, Y=1) = P(X=1, Y=1)$。
若 $X$ 和 $Y$ 不相关，则 $Cov(X, Y) = 0$，即：
代入上式得：
对于其他取值组合（例如 $X=0, Y=1$），利用概率的加法性质：
同理可证，对于所有 $i, j \in \{0, 1\}$，均有：
根据离散型随机变量独立性的定义，这说明 $X$ 和 $Y$ 相互独立。
综上所述，$X$ 和 $Y$ 相互独立的充分必要条件是它们不相关。证毕。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #独立与不相关的关系 #指示变量
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📖 相关公式与知识点:
- 独立 $\Rightarrow$ 不相关（恒成立）
- 不相关 $\Rightarrow$ 独立（仅对特殊分布成立，如指示变量、二维正态）
思路分析
必要性用协方差定义；充分性利用指示变量只有 0/1 取值的特点。
🔄 举一反三
- 二维正态分布中，不相关是否等价于独立？
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答案：是，二维正态中不相关 $\iff$ 独立。